Lastminute - Probleme de surfacturation Lastminute

Bonjour, j'ai réservé un séjour sur last minute pour l'été 2023 sur internet. Le site ne fonctionnait pas très bien nous avons du recommencer plusieurs fois les manipulations. A la réception du mail de confirmation, nous nous sommes immédiatement rendu compte que la date de naissance de notre fille était erronée (2022 au lieu de 2018). Dès l'ouverture du service client j'ai téléphoné pour effectuer la modification. Le conseiller me dit ok je m'en occupe sans plus d'explications.
Le lendemain matin nous recevons un email disant que la modification est possible moyennant 223€ supplémentaire. J'ai demandé une explication concernant cette tarification et, éventuellement les conditions d'annulation du voyage. Je n'ai pas eu le détail des 223€, simplement une réponse concernant les tarifs si nous souhaitions annuler la demande (1006€!). J'ai demandé à être recontacté par le service client par téléphone, une personne m'a rappelé de suite et m'a expliqué le détail du prix (frais de dossiers, taxes aeroports etc). J'ai donc dit OK pour les 223€, la personne m'a certifié que ce serait ce montant est pas autre chose; j'ai demandé à recevoir un mail de confirmation avec les bonnes informations (samedi 26/11). J'ai relancé le service client par téléphone le mercredi 30/11 demandant à nouveau un mail de confirmation et une facture avec le bon montant mais je n'ai jamais rien reçu. Samedi 03/12 nous recevons un email de lastminute disant que les frais s'élèvent à 304€ et que nous avons la possibilité de passer directement par la compagnie pour négocier les frais, sans autres explications.. J'ai contacté à nouveau le service client car j'avais accepté par email les 223€! On m'a répondu que mon mail ne leur était pas parvenu (chose qu'on ne m'a pas dite le mercredi au téléphone quand j'ai réclamé la facture). J'ai donc transféré mon email d'accord pour les 223€ et on me répond que non c'est bien les 304€ qui s'applique. Je n'ai jamais eu d'explications et je ne sais pas quand ce prix va cesser d'augmenter? A ce train la dans un mois on me dit c'est 1000€ de frais et je n'ai pas d'autre choix que de payer? J'ai également demandé en parallèle un geste commercial car nous connaissons la date de naissance de notre fille, je pense que l'erreur vient du site qui à mis automatiquement l'année 2022 au lieu de 2018 mais je ne peux pas le prouver évidemment... On m'a répondu succinctement qu'on ne fait pas de geste commercial pour ça.
Je suis excédée je ne sais plus quoi faire, nous sommes des gens honnêtes nous avons signalés immédiatement l'erreur, nous sommes ok pour le surcout mais cela change déjà considérablement le prix du voyage..